การสร้างทฤษฎีเซตโดยอาศัยระบบสัจพจน์

        การสร้างทฤษฎีเซตโดยอาศัยระบบสัจพจน์

 สัจพจน์ (อังกฤษ: axiom) หรือ มูลบท (อังกฤษ: postulate) เป็นคำศัพท์ที่ใช้ในวิชา คณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ หมายถึงข้อความที่ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ ซึ่งตรงข้ามกับคำว่า "ทฤษฎีบท" ซึ่งจะถูกยอมรับว่าเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อมีการพิสูจน์ ดังนั้นสัจพจน์จึงถูกใช้เป็นจุดเริ่มต้นในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ และทฤษฎีบททุกอัน จะต้องอนุมาน (inference) มายังสัจพจน์ได้

 คำว่า "สัจพจน์" มาจากคำἀξίωμα (axioma) ในภาษากรีกซึ่งแปลว่า "ยกให้มีค่ายิ่ง" หรือ "ต้องการอย่างยิ่ง" ซึ่งแผลงมาจากคำว่าἄξιος (axsios) และἄγω (ago) ตามลำดับ โดยรากศัพท์เริ่มต้น ἄγω (ago) นั้นเป็นรากศัพท์ ในตระกูลภาษาก่อนอินโดยูโรเปียน ตรงกับคำว่า अजति (ago) ในภาษาสันสกฤต ซึ่งมีความหมายเหมือน กันคือ "การนำ" หรือ "การทำให้มีค่า" ต่อมานักปรัชญากรีกจึงใช้คำว่า axiom ในความหมายว่า ข้อความที่ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์

                สำหรับคำว่า "สัจพจน์" เกิดจากการสมาสคำว่า "สจฺจ" ซึ่งแปลว่า "ความจริงแท้" กับ "พจฺน" ซึ่งแปลว่า "ข้อความ" "คำพูด" สัจพจน์จึงแปลว่า "ข้อความที่เป็นความจริงแท้" ส่วน "มูลบท" เกิดจากการสมาสคำว่า "มูล" ซึ่งแปลว่า "พื้นฐาน" กับ "บท" ซึ่งแปลว่า "ข้อความ" จึงแปลได้ว่า "ข้อความที่เป็นพื้นฐาน"

      ประวัติของระบบสัจพจน์

       ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria, ประมาณ 270 – 325 ปีก่อนคริสต์ศักราช  เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลมาก ที่สุดจนกระทั่งถึงศตวรรษที่ 20 เพียงแต่เรากล่าว ถึงชื่อของท่านก็จะทำให้เรานึกถึงวิชาเรขาคณิต แม้ว่าท่านจะไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ที่เป็นคนคิดริเริ่มสิ่งใหม่ แต่ท่านก็มีส่วนช่วยสนับสนุนในการรวบรวมวิชาเรขาคณิตลงในหนังสือมากที่สุด ที่เรารู้จักกันคือหนังสือ Elements ซึ่งรวบรวมผล งานชิ้นสำคัญ ๆ ของนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงก่อนหน้าท่าน ผลงานที่ยิ่งใหญ่ของท่านชิ้นนี้กลายเป็นรูปแบบของการให้เหตุผลที่ดี เป็นมาตรฐานความรู้ทางเรขาคณิต อีกทั้งเป็นรูปแบบของการเขียนตำราทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์มาเป็นเวลา มากกว่า 2000 ปี

                      ในประวัติศาสตร์  กรีกเป็นชาติแรกซึ่งพัฒนาสัญลักษณ์ของตรรกศาสตร์  ที่ค้นพบจากรากฐานของ  Initial Statements ซึ่งเป็นข้อสมมุติจากนอกเซต อริสโตเติล (322 - 384 B.C.)ได้บันทึกไว้ว่า “วิทยาศาสตร์ที่สามารถทดลองได้ทุกเรื่อง จะเริ่มต้นมาจากหลักการที่ไม่สามารถทดลองได้ หรือไม่ก็ขั้นของการทดลองจบลงอย่างสั้นในตัวแล้ว”

                     งานของยูคลิด  ใน  The element ซึ่งเขียนประมาณ 300 B.C.  ได้พัฒนาโครงสร้างของระบบสัจพจน์โดยใช้พื้นฐานของนิยามและความเข้าใจง่ายๆ  เช่น  Postulates ใน The element ของเขาได้กล่าวไว้ว่า

                                1. จะสามารถลากเส้นตรงจากจุดใดๆจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้เส้นเดียว

                                2. จะสามารถต่อเส้นตรงให้ยาวออกไปได้ไม่สิ้นสุด

                                3. เพื่อจะอธิบายวงกลมได้  จะต้องกำหนดจุดศูนย์กลางและรัศมี

                                4. มุมฉากทุกๆมุมจะเท่ากัน

                                5. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่ง  ตัดเส้นตรงสองเส้น  ทำให้มุมภายในข้างเดียวกันของเส้น
                                    ตัดรวมกันได้น้อยกว่าสองมุมฉากแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะพบกันทางด้านที่ผลบวก
                                    ของมุมทั้งสองรวมกันได้น้อยกว่าสองมุมฉากนั้น

                ความเข้าใจง่ายๆของ  The element ของยูคลิด กล่าวไว้ว่า

                                1.สิ่งทั้งหลายที่ต่างเท่ากับสิ่งที่เท่ากับสิ่งหนึ่ง  ย่อมเท่ากันหมด

                                2.สิ่งสองสิ่งเท่ากัน  ถ้าบวกด้วยสิ่งที่เท่ากันแล้ว  ผลลัพธ์ย่อมเท่ากันด้วย

                                3.สิ่งสองสิ่งเท่ากัน  ถ้าลบออกด้วยสิ่งที่เท่ากันแล้ว  ผลลัพธ์ย่อมเท่ากันด้วย

                                4.สิ่งซึ่งทับกันสนิท  ( coincide )  สิ่งต่อสิ่ง  แล้ว  สิ่งหนึ่งจะเท่ากับอีกสิ่งหนึ่ง

                                5.จำนวนทั้งหมด  ( whole )  ย่อมมากกว่าส่วนย่อย  ( part )

                สิ่งเหล่านี้ได้ก่อให้เกิดทฤษฎีต่างๆตามมา  งานของยูคลิดใน  The  element  เป็นงานที่สร้างชื่อเสียง  ที่เน้นวิธีการและเนื้อหาในทางที่สามารถพิสูจน์ได้โดยสมบูรณ์  ซึ่งเป็นแบบอย่างแรกเริ่มไว้  สำหรับวิธีการของยูคลิดที่ใช้นั้น  อาร์คิมิดีส  (  212-  287  B.C.)  ก็ได้นำไปใช้ด้วย

 ในสมัย  Renaissance  ชาวยุโรปได้ศึกษาวิชาความรู้ของกรีก  นักแปลชาวลาตินได้แปล  The  elements  ของยูคลิดในปี  ค.ศ.1572  สิ่งแปลเหล่านี้  ได้นำไปใช้ในการสอนในโรงเรียนของชาวยุโรปและอเมริกาใน  ค.ศ.  1685  นิวตันได้เขียน  Principia เขาได้จัดระเบียบของการให้เหตุผลแบบอนุมาน ( deductive  system )  ในปี  ค.ศ.  1788  ลาแก้นซ์  ( Lagrange )  ได้พิมพ์  A Systematic  Treatment  of  Analytical  mechanics  และได้จัดระบบของการให้เหตุผลไว้เช่นกัน

                 ความคิดของวิธีการสัจพจน์นี้  ได้สำเร็จขึ้นในสมัยของโลบาชเชสกี  ( Lobachevsky  ;  1793  -  1856 )  และโบลใย  ( Bolyai  ;  1775 - 1856 ) ในการสร้าง  Non  -  Euclidean  geometry  ,  เฮอร์  มาน  กาสมาน  ( Hermann  Grassmann  ;  1809  -  1877 )  ซึ่งเขียนวิชาการต่างๆไว้มาก  เช่น  ไฟฟ้ากระแส  สี  เสียง  พืช  และการละคร  ซึ่งขยายแนวใหม่  โดยเฉพาะ  Ausdehnungslehre  ของเขาพิมพ์ใน  ค.ศ.  1844  ได้พัฒนาระบบสัจพจน์นามธรรม  จาก  doctrine  of  space  ซึ่งหลักการสำคัญ  พัฒนามาจาก  การเห็นแจ้งโดยเฉพาะ  ( Special  Intuitions )  และใช้กฎของตรรกศาสตร์

    วิธีการทางสัจพจน์

                เริ่มแรกทีเดียว  ต้องกำหนดเซตของ  elements  ต่างๆขึ้นมาก่อน  elements  ต่างๆที่กำหนดขึ้นมานั้นอาจมีทั้งที่ให้คำนิยามได้  และที่ให้คำนิยามไม่ได้    elements  ที่ให้คำนิยามไม่ได้  เราเรียกว่า  Undefined  Term  และที่ให้คำนิยามได้  เราเรียกว่า  Defined  Term  และจาก  Undefined  Term  และ  Defined  Term  นี้  ก่อให้เกิดเป็นเซตของสัจพจน์ขึ้น  ผล  ( conclusion )  ที่ได้รับมาจากการให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์เหล่านี้  ก่อให้เกิดเป็นระบบขึ้น

นิยาม  1  สัจพจน์  กติกา  หรือสมมุติฐาน  ( assumption )  คือข้อความซึ่งยอมรับโดยไม่ต้องมีการพิสูจน์ซึ่งถือเป็นประโยคจริงขั้นมูลฐาน

                  เซตของสัจพจน์ที่จะให้ผล  ซึ่งมีความสำคัญไม่ว่าจะเป็นในทางนามธรรม  หรือในทางการนำไปใช้  จะต้องเป็นเซตสัจพจน์ที่เป็น  consistent,  complete  และ  independent

                   เซตของสัจพจน์  จะเรียกว่า  consistent  ถ้าไม่มี  2  สัจพจน์ใดๆในเซตมีข้อความขัดแย้งกันเลย  หรือถ้ามี  2  สัจพจน์ใดในเซตเกิดขัดแย้งกัน  จะต้องมีอยู่อย่างน้อยหนึ่งสัจพจน์ใน  2  สัจพจน์ที่ขัดแย้งกันนั้นพิสูจน์ไม่ได้

                  เซตของสัจพจน์  จะเรียกว่า  Complete  ถ้ามี  2  สัจพจน์ใดในเซตเกิดขัดแย้งกัน  จะต้องมีอยู่อย่างน้อยหนึ่งสัจพจน์ใน  2  สัจพจน์ที่ขัดแย้งกันนั้น  สามารถพิสูจน์ได้

                   เซตของสัจพจน์  จะเรียกว่า  Independent ถ้าเซตของสัจพจน์นั้นประกอบขึ้นด้วยสัจพจน์ที่ไม่ได้หามาได้จากสัจพจน์อื่นๆ ที่มีอยู่ในเซตของสัจพจน์นั้น

นิยาม  2  ทฤษฎี  คือประโยคใดๆซึ่งมีผลมาจากการให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์  โดยใช้สัจพจน์  และทฤษฎีที่พิสูจน์มาก่อนแล้ว

   ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์

                                สิ่งที่สำคัญในความพยายามสร้างทฤษฎีเชิงสัจพจน์(Axiomatic  Set  Theory)  เพื่อหลีกเลี่ยงพาราดอกซ์ที่จะเกิดขึ้น  มีนักคณิตศาสตร์หลายคนที่ได้เผยแพร่งานทางทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์และต่อมาก็มีผู้ปรับปรุงงานที่มีผู้ทำไว้แล้วให้สมบูรณ์ยิ่งขึ้น

                                ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์เป็นการสร้างขึ้นอย่างมีแบบแผน(Formal)  ภาษาที่ใช้ก็ได้พยายามใช้ภาษาที่มีแบบแผน  นอกจากนี้ยังทำการพิสูจน์ให้มีขั้นตอนที่เป็นแบบแผนอีกด้วย  ซึ่งในการพิสูจน์อย่างมีลำดับขั้นตอนก็ได้เป็นที่ยอมรับกันต่อมา  ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ในระยะแรกมีความใกล้เคียงกับวิชาเรขาคณิตเชิงสัจพจน์ในสมัยก่อนที่ทำไว้แล้ว

                                วิชาทฤษฎีเชิงสัจพจน์(Axiomatic  Theory)  ใช้ภาษาที่เป็นแบบแผน  โดยเฉพาะการกล่าวถึงสัจพจน์  เช่นสัจพจน์ในวิชาเรขาคณิตบนพื้นระนาบของฮิลแบร์ต(Hilbert’ s  Plane  Geometry)กล่าวไว้ดังนี้

“ถ้า x  และ y  เป็นจุดสองจุดที่แตกต่างกัน  แล้วจะได้ว่า  มีจุด  z  อยู่ระหว่าง x และ y”

                                ภาษาที่ใช้ในสัจพจน์ที่กล่าวข้างบนนี้ถือว่าเป็นภาษาที่เป็นแบบแผน  ซึ่งทุกวันนี้ก็เป็นที่ยอมรับความคิดนี้  ทุก  ๆ  ทฤษฎีในทฤษฎีเชิงสัจพจน์มีการพัฒนาอย่างเป็นแบบแผน  ซึ่งในทางปฏิบัติแล้วทฤษฎีเชิงสัจพจน์จะพัฒนาอย่างช้า  ๆ  ค่อย  ๆ  ดำเนินไปอย่างเป็นขั้นตอน  และมีความละเอียดถี่ถ้วนมาก  จนการพัฒนาเป็นความเบื่อหน่าย  นอกจากนี้การเขียนข้อความหรือสัญลักษณ์ก็เป็นสิ่งที่ค่อนข้างยุ่งยาก  และการพิสูจน์ที่เป็นแบบแผนก็มีแนวโน้มที่จะเป็นการพิสูจน์ที่ค่อนข้างยาวมาก  ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ทั่วไปจึงพอใจในทฤษฎีเชิงสัจพจน์ในขอบเขตที่สามารถทำได้อย่างเป็นแบบแผน  แต่เขาก็พอใจที่จะพัฒนาทฤษฎีอย่างไม่ต้องเป็นแบบแผนมากกว่า  เพราะง่ายและรวดเร็วกว่า  ซึ่งความพอใจ  นี้ก็แสดงอยู่ในหนังสือตำราเรียนทางคณิตศาสตร์ต่าง  ๆ  มากมาย  ส่วนตำราที่เป็นแบบแผนก็มีอยู่บ้างไม่มากนัก  นอกจากนี้ตำราที่เป็นแบบแผนยังมีส่วนที่ผู้อ่านข้ามตอนที่เป็นเนื้อหาในทางทฤษฎีเชิงสัจพจน์ไปก็ได้

                                สำหรับการแก้ปัญหาการเกิดพาราดอกซ์ในทฤษฎีเซต  ทำให้เกิดวิชาทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ขึ้น  ได้มีนักคณิตศาสตร์หลายคนที่มีผลงานด้านนี้อยู่ตั้งแต่ศตวรรษที่  19  ผลงานด้านทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ในครั้งแรกทำไว้โดย  เซอร์เมโล(Zermelo)  ในปี  1908  โดยเขาเผยแพร่งานเขียนของเขาก่อนที่วิธีการเชิงสัจพจน์จะเป็นที่ยอมรับและเข้าใจกันอย่างกว้างขวาง  ดังนั้นทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ของเซอร์เมโลไม่ได้เขียนไว้ที่ภาษาที่เป็นแบบแผนนัก  แต่มีแนวทางใกล้เคียงกับวิชาเรขาคณิตเชิงสัจพจน์ที่เขียนกันไว้ในสมัยนั้น

                                ในระบบของเซอร์เมโล  มีความสัมพันธ์อันหนึ่ง  คือ Î โดยใช้ข้อความ xÎ Y  และ  อ่านว่า  x  เป็นสมาชิกของ  Y

                                ในเรื่องของเซต  เราอาจนึกว่ามีสิ่งสองสิ่ง  คือ  เซต  และสมาชิก  บางครั้งเราก็อาจคิดว่าสองสิ่งนี้คือสิ่งเดียวกัน  เพราะวิชาคณิตศาสตร์  เราพบ  “เซตของเซต”    นั่นคือมีเซตเป็นสมาชิกของเซต  เช่น  ในวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์เชิงระนาบ(Plane  Analytic  Geometry)  มีเส้นเป็นเซตของจุด  และจุดเป็นคู่อันดับของจำนวนจริง      (พิกัดทั้งสอง)  สำหรับจำนวนจริงก็กำหนดเป็นลำดับ(Sequence)ของจำนวนตรรกยะ  เป็นต้น

                                เกือบทุก  ๆ  เซตที่เกิดขึ้นในความคิดของเรานั้น  เป็นเซตที่ประกอบด้วยทุก  ๆ  สิ่งที่มีคุณสมบัติพิเศษเฉพาะชนิดนั้น  ๆ  นั่นคือประกอบด้วยสิ่งที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนดไว้  นี่ก็คือวิธีการที่เป็นธรรมชาติที่สุดในการที่เซต  เกิดขึ้น  เราสามารถให้คำอธิบายเงื่อนไขของสมาชิก 

                                ตามระบบของเซอร์เมโล  ต้องเขียนสัญลักษณ์ของเซตนี้ดังนี้

                                {x ÎA / p(x) }  และอ่านว่า  เซตสมาชิก  x  ทุกตัวในเซต  A  โดยที่  x  สอดคล้องเงื่อนไข p(x)

                                ในระบบของเซอร์เมโลต้องเข้าใจกันด้วยว่า  เขาไม่อนุญาตให้เขียนเซต  {xp(x) }เพราะเขากลัวว่าจะเกิดพาราดอกซ์ได้  แต่ต้องเขียน{x ÎA / p(x) }  ซึ่งหมายความว่าต้องทราบว่ามีเซต  A  อยู่แล้ว  จึงสร้างเซตใหม่ได้

                                เซอร์เมโลพยายามแก้ไขปัญหาการเกิดพาราดอกซ์อีก  โดยเพิ่มเงื่อนไขแก่เซต  ที่เขียนดังนี้{x ÎA / p(x) }  ว่าสามารถสร้างขึ้นได้  ก็ต่อเมื่อ  p(x)  เป็นข้อความที่มีความหมาย(Meaningful)  สำหรับทุก  ๆ  สมาชิก  x  ใน  A

                                อย่างไรก็ตามก็ยังมีปัญหาตามมาอีกว่า  เราเข้าใจวลีที่กล่าวว่า  “ที่มีความหมาย”  อย่างไรและเรามีความรู้และพิจารณาได้อย่างไรว่า  p(x)  เป็นข้อความที่มีความหมายตามที่เราต้องการจริง  ๆ  จึงนำไปสู่ปัญหา  พาราดอกซ์เชิงภาษา

                                ในที่สุดเซอร์เมโลก็ได้เผชิญปัญหาที่กล่าวมาแล้วนี้  นอกจากนี้  ยังมีปัญหาต่อไปอีกว่าเราจะหมายความว่าอย่างไร  เมื่อพบว่า  “เงื่อนไข”  หรือพบข้อความ “เงื่อนไขที่เกี่ยวกับ x”  จุดประสงค์ของนักคณิตศาสตร์  ก็คือ  พยามยามทำทฤษฎีเซตเป็นระบบสัจพจน์  เซอร์เมโลจึงพยายามจะให้อิสระต่อทุก  ๆ  ตัวแปร  (Variable)  ของเขา  โดยไม่ได้แยกเป็น    ตัวแปรอิสระ  และตัวแปรตามเซอร์เมโลจึงไม่ได้รับความสำเร็จมากนักในการสร้างทฤษฎีเซตให้เป็นระบบสัจพจน์

                                ตั้งแต่ปี  1922  เป็นต้นมา      ก็มีนักคณิตศาสตร์พยายามปรับปรุงระบบเซอร์เมโล  อย่างไรก็ตามก็ยังไม่ได้ระบบที่ดีถูกใจคนทุก  ๆ  คนอยู่นั่นเอง

 ในระบบคณิตศาสตร์ระบบหนึ่งๆ จะต้องมีสมาชิกของระบบ และเมื่อเราจะกล่าวถึงทฤษฏีเซตที่เป็นระบบสัจพจน์ เราก็จะต้องกำหนดให้มีเซตเป็นสมาชิกของระบบตามสัจพจน์ที่ 1 ดังนี้

สัจพจน์ที่ 1 มีอย่างน้อยหนึ่งเซต

จากนั้นเราสร้างเซตจากเซตที่มีอยู่แล้วร่วมกับประโยคเปิด ดังสัจพจน์ต่อไปนี้

สัจพจน์ที่ 2 (Selection Axiom) สำหรับเซต A ใดๆ และประโยคเปิด P(x) จะต้องมีเซต B ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก x   

             ทุกตัวที่ x เป็นสมาชิกของเซต A และ x สอดคล้องกับ P(x) เท่านั้นเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้ A( B( x[xÎBÛxÎAÙP(x)]))

                การเกิดเซต B ในสัจพจน์ที่ 2 จะต้องเป็นที่เข้าใจกันว่า P(x) นั้นหมายถึง xÎB ไม่ได้ เพราะเมื่อ xÎA จะทำให้เกิด B( x[x BÛx B]) ซึ่งเป็นประโยคที่เป็นเท็จเสมอ เกิดการขัดแย้งขึ้นในระบบ

                Selection Axiom หรืออาจจะเรียกว่า Separation Axiom หรือ Subset Axiom เป็นผลงานที่ แซร์เมโล เป็นต้นคิดขึ้นในปี ค.ศ.1908 เพื่อขจัดข้อความแย้งกันแต่จริงของ รัสเซลล์

                การเกิดเซตหรือมีเซตต้องเป็นไปตามระบบสัจพจน์ จากระบบสัจพจน์ที่ 1 และสัจพจน์ที่ 2 เราสามารถพิสูจน์ได้เพียงว่ามีเซตว่างเท่านั้น เรายังไม่สามารถแสดงได้ว่า มีเซตนอกเหนือจากเซตว่าง ดังนั้นเราจึงต้องสร้างเซตขึ้นมาจากเซตที่มีอยู่เดิมด้วยวิธีเดิมอื่นอีก เพื่อให้มีเซตนอกเหนือจากเซตว่าง โดยกำหนดเป็นสัจพจน์ดังนี้

สัจพจน์ที่ 3 (Pairing Axiom) สำหรับเซต a และเซต b ใดๆ จะต้องมีเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิก a  และ b เท่านั้น

                เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้ "a"b$C("x[xÎCÛx = a Úx = b] )

                หมายความว่า เมื่อ xÎC สามารถสรุปได้ว่า x = a หรือ x = b และในทางกลับกัน เมื่อ x = a สามารถสรุปได้ว่า xÎC หรือ เมื่อ x = b ก็สรุปได้ว่า xÎC สัจพจน์นี้เป็นผลงานของแซร์เมโลปี 1908

สัจพจน์ที่ 4 (Power Set Axiom) สำหรับเซต Aใดๆ จะต้องมีเซต C ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก B ทุกตัวที่เป็นเซตย่อยของเซต Aเท่านั้น

                เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ ดังนี้ "A($C ("B [BÎCÛBÍ A]))

                สัจพจน์ที่ผ่านมาไม่สามารถนำมาสร้างเซตผลผนวกได้ จึงจำเป็นต้องกำหนดสัจพจน์ เพื่อให้เกิดเซตผลผนวก แนวคิดของสัจพจน์นี้มาจากคันเตอร์ เมื่อปี ค.ศ. 1908 ดังนี้

สัจพจน์ที่ 5 (Union Axiom) สำหรับ เซต A ใดๆ จะต้องมีเซต C ซึ่ง xแต่ละตัว x เป็นสมาชิกของ C
                 ก็ต่อเมื่อ มีเซต B เป็นสมาชิกของเซต A โดยที่ x เป็นสมาชิกของ B เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้
                  ดังนี้ "A($!C("x[xÎCÛ$B[xÎBÙBÎA]]))

สัจพจน์ที่6 (Regularity Axiom) เซตAใดๆที่ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องมี x เป็นสมาชิกของ A ซึ่ง            x ÇA เป็นเซตว่าง เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้A ¹ÆÞ$x[x ÎA Ùx ÇA = Æ]        Regularity Axiom หรือรู้จักกันในนาม Foundation Axiom แนวคิดของสัจน์พจนี้ปรากฏครั้งแรกในงานเขียนของ ไดมิทริ  ไมริมานอฟฟ์ (Dimitry Mirimanoff) ปี ค.ศ. 1923 และของ  ฟอน นอยมันน์ ปี ค.ศ.1925