ประวัติความเป็นมาการสร้างทฤษฎีเซตโดยอาศัยระบบสัจพจน์

                    ประวัติความเป็นมาการสร้างทฤษฎีเซตโดยอาศัยระบบสัจพจน์

       

 ในสมัยก่อนตั้งแต่สมัยยูคลิด (Euclid ชาวกรีก ประมาณ 380 – 450 ปีก่อนคริสต์ ศักราช) นักคณิตศาสตร์ได้ยืนยันว่า คณิตศาสตร์แขนงต่างๆมีรากฐานมาจากเรขาคณิต เช่น เห็นว่าจำนวนมีรากฐานมาจาก คุณสมบัติทางเรขาคณิต จนกระทั่ง ถึงศตวรรษที่ 19 คาร์ล ไวแยร์สตาสส์ ( Karl  Weierstrass ชาวเยอรมนี  ค.ศ. 1815-1897) และ ริชาร์ เดเดคินด์ ( Richard Dedekind ) ชาวเยอมนี ค.ศ.  1813-1916) ได้นำเสนอความคิดเห็นว่า คณิตศาสตร์ทุกสาขามีพื้นฐานมาจากเลขคณิตของจำนวนธรรมชาติ (จำนวนเต็มบวก) และจำนวนจริงมาจากลำดับโคชี ( Cauchy sequence) ของจำนวนตรรกยะ   ดังนั้นการศึกษาเกี่ยวกับจำนวนจริงจึงถูกลดทอนให้อยู่ในรูปของจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะมาจากคู่อันดับของจำนวนเต็ม และจำนวนเต็มมาจากคู่อันดับโคชี (Cauchy sequence) ของจำนวนตรรกยะ  ดังนั้นการศึกษาเกี่ยวกับจำนวนจริงจึงถูกลดทอนให้อยู่ในรูปของจำนวนตรรกะยะ และจำนวนตรรกะยะมาจากคู่อันดับของจำนวนเต็ม และจำนวนเต็มมาจากคู่ลำดับของธรรมชาติในที่สุดจำนวนจริง ตั้งอยู่บนฐานของจำนวนธรรมชาติ และแล้วในปี ค.ศ. 1888 เดเดคินด์ แสดงให้เห็นว่า จำนวนธรรมชาติสามารถพัฒนาจาก หลักการเบื้องต้นของทฤษฎีเซต

                  The  Paradoxes ( พาราดอกซ์ )

        การค้นคว้าของ  เกออร์ คันเตอร์( Georg  Cantor  ;  1845  -  1918 )  เกี่ยวกับอนุกรมตรีโกณมิติและอนุกรมจำนวนจริง  ทำให้เขาต้องคิดวิธีการเปรียบเทียบขนาดของเซตอนันต์ของจำนวนจริง  เขาได้กำหนดเพาเวอร์  ( power  หรือ  size )  ของเซต  โดยกำหนดว่า  เซตสองเซตมีเพาเวอร์เท่ากัน  ถ้าสมาชิกของเซตหนึ่งสามารถเข้าคู่กับสมาชิกของเซตอื่นๆได้พอดี  และเพาเวอร์ของเซตจำกัดสามารถกำหนดด้วยจำนวนนับ  ความคิดของเขาในเรื่องเซตอนันต์  เขามองเห็นว่า   เซตอนันต์และ  Transfinite  numbers  คู่กัน  เช่นเดียวกันกับ  เซตจำกัดและจำนวนนับคู่กัน  ซึ่งเป็นของใหม่ในเวลานั้น  แต่นักคณิตศาสตร์บางคนรังเกียจเขา  และไม่ยอมรับผลงานของเขา  แต่อย่างไรก็ตาม  ทฤษฎีของเขาก็มีประโยชน์มาก  เพราะสามารถพิสูจน์  existence  ของ  Transcendental  numbers  ได้ในปี  ค.ศ.  1890  จึงมีผู้ยอมรับ  โดยได้นำทฤษฎีของเขาไปใช้  แต่ก็มีการเปลี่ยนแปลงทัศนคติที่ยังไม่ยอมรับอีกเมื่อมีการค้นพบ  Paradoxes ต่างๆ ในทฤษฎีเซตขึ้น  ซึ่ง  Paradoxes  เหล่านั้นก็มีการแก้ไขในกาลเวลาต่อมา

 ความรู้เกี่ยวกับเซตเป็นความรู้พื้นๆ ที่เป็นธรรมชาติ และใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ มาช้านาน แต่วิชาทฤษฎีเซตที่เกี่ยวกับเซตที่เป็นนามธรรมนั้น ได้ถือกำเนิดจากงานวิจัย เกออร์ คันเตอร์
 (Georg Cantor ชาวเยอรมนี 1845-1918) เมื่อประมาณปี ค.ศ. 1870 การพัฒนาทฤษฏี เซตของ      คันเตอร์ ยังไม่อยู่รูปของระบบสัจพจน์ ที่ชัดเจน แต่วิเคราะห์ได้ว่าการพิสูจน์ทฤษฎีของเขาเกือบทั้งหมด เขาพิสูจน์จากสัจพจน์ (axiom) 3 ข้อ ด้วยกัน ได้แก่

1. The axiom of extensionality ซึ่งกล่าวว่า เซตสองเซตเหมือนกัน (เซตที่เท่ากัน) เมื่อมันมีสมาชิกเป็นอันเดียวกัน

2. The axiom of abstraction ซึ่งกล่าวว่า เมื่อกำหนดคุณสมบัติใดย่อมมีเซตประกอบด้วยคุณสมบัตินั้นๆเสมอ

3. The axiom of choice ซึ่งกล่าวว่า สำหรับเซต A ใดๆ มีฟังก์ชัน f ซึ่งเซตย่อย B ≠ Æ ใดๆของ A แล้ว f(B)Î B

                ทฤษฎีเซตของคันเตอร์ได้ทำให้วงการของคณิตศาสตร์พัฒนาไปอย่างมาก นักคณิตศาสตร์ได้ใช้ทฤษฎีเซตไปอธิบายเนื้อหาคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ อย่างกว้างขวางทฤษฎีเชตของคันเตอร์เป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางจวบจนเกือบจะขึ้นศตวรรษใหม่ ในระหว่างปี ค.ศ.  1895 ถึง 1910  ได้มีการพบความขัดแย้งหลายประการในส่วนต่าง  ๆ  หลาย  ๆ  ส่วนของวิชาทฤษฎีเซต  ในระยะแรก  ๆ  ของการศึกษาวิชาทฤษฎีเซตนั้น  อาจทำได้โดยใช้เหตุผลเชิงสหัชญาณ  การศึกษาวิชาทฤษฎีเซต  ก็ยังไม่ได้ใช้ระบบสัจพจน์  จึงเกิดข้อผิดพลาดในการตอบคำถามบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับเซต  นอกจากนี้  ยังมีจินตานการในการคิดสร้างเซตที่สมาชิกซึ่งกำหนดคุณสมบัติที่มีลักษณะเป็นนามธรรมมากขึ้น  ซึ่งพบในภายหลังว่า  เซตที่สร้างขึ้นนั้นอาจจะไม่เป็นเซตก็ได้  ในตอนแรก  ๆ  นักคณิตศาสตร์มีความเอาใจใส่กับความขัดแย้งที่เกิดขึ้นเพียงเล็กน้อยและไม่สนใจที่จะแก้ไข  แต่ในเวลาต่อมา  มีผู้แสดงผลงานเกี่ยวกับเรื่องข้อขัดแย้งในวิชาทฤษฎีเซต  โดยในปี  1897  นักคณิตศาสตร์คู่หนึ่ง  คือ  บูราลี -  ฟอร์ไต(Burali - Forti)  ได้ตีพิมพ์เผยแพร่ผลงานที่เป็นข้อขัดแย้ง  แต่ข้อขัดแย้งที่ทั้งสองได้เผยแพร่มาก็เป็นเรื่องทำนองเดียวกับที่แคนเตอร์ได้พบมาก่อนหน้านี้แล้วเมื่อ  2  ปีก่อนที่ บูราลี  -  ฟอร์ไต    จะเผยแพร่ออกมา  และผลงานนี้ปรากฏว่า  เพียงแต่ปรับปรุงนิยามเบื้องต้นบางอย่างเพียงเล็กน้อยก็พอเพียงที่จะแก้ไขให้เกิดความถูกต้องได้

                ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นในเวลาต่อมาได้มีการบัญญัติเป็นศัพท์เชิงเทคนิคว่า  พาราดอกซ์หรือ  จะอธิบายความหมายได้ว่า  “ข้อความขัดแย้งกันแต่จริง”

อย่างไรก็ตามในปี ค.ศ. 1901 เบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ (Bertrand Russell ชาวอังกฤษ ค.ศ. 1872- 1970) ได้ค้นพบข้อความแย้งกันแต่จริงที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวกับสัจพจน์ ข้อ (2) The axiom of abstractionโดยตีพิมพ์ปี ค.ศ. 1903 ดังรายละเอียดต่อไปนี้

              พิจารณาจากความคิดที่ว่า ถ้า A เป็นเซตเซตหนึ่ง สมาชิกของ A อาจเป็นเซตก็ได้ ซึ่งในลักษณะเช่นนี้มีปรากฏอยู่ในคณิตศาสตร์เสมอ เช่น A เป็นเซตของเส้น ในขณะที่แต่ละเส้นอยู่ในรูปเดียว ในขณะที่แต่ละเส้นอยู่รูปของเซตของจุด จากแนวคิดนี้จึงนำไปสู่ความคิดที่ว่า A เป็นเซตของเซตทั้งหมดก็ได้

              จากคุณสมบัติ “ xÏ x” ในขณะเดียวกัน จึงทำให้ทฤษฎีเซตของคันเตอร์ (ข้อ 2) เขียนเป็นลัญลักษณ์จะได้ $s ("x [x Îs [xÏ x])จะเห็นได้ว่า ถ้า SÎS S ÏS จะได้ SÎSนั้นคือ SÎS  S ÏS   SÎS    S ÏS ในขณะเดียวกันจึงทำให้ทฤษฎีของ คันเตอร์เป็นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ หรือไม่มีนั่นเอง มันสร้างความสนใจให้กับนักคณิตศาสตร์เป็นอย่างมาก ข้อความขัดแย้งกันแต่จริงของรัสเซลล์ ดังกล่าว เกิดขึ้นเพราะสัจพจน์อันเนื่องมาจาก คันเตอร์ ได้นิยามความหมายของเซต จากสามัญสำนึก โดยไม่จัดเป็นไปตามโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และคิดแต่เพียงว่า เมื่อสามารถกำหนดคุณสมบัติของสิ่งเราก็สามารถกล่าวถึงเซตสิ่งของทั้งหมดที่มี   ที่มีคุณสมบัตินั้นๆได้ ดังนั้น ความหมายของเซตที่คันเตอร์ กล่าวไว้ว่า “ a set S is any collection of definite, distinishable objects of our intuition or our intellect to conceived as a whole” จึงใช้ไม่ได้อีกต่อไป  และสอดคล้อง P(x)

                พาราดอกซ์ในวิชาทฤษฎีเซต  แบ่งออกเป็น  2  ชนิด  คือ

                                1.พาราดอกซ์เชิงตรรกศาสตร์(Logical  Paradox)

                                2.พาราดอกซ์เชิงภาษา(Semantic  Paradox)

                พาราดอกซ์รัสเซลล์  จัดอยู่ในประเภทพาราดอกซ์เชิงตรรกศาสตร์  ลักษณะของการเกิดพาราดอกซ์โดยทั่วไป  ๆ  เกิดจากการกำหนดเซตแบบเงื่อนไข  หรือกำหนดคุณสมบัติของ  p(x)  ให้แก่สมาชิกในเซตนั้น  ๆ  บางครั้งอาจจะไม่สามารถสร้างเซตขึ้นตามที่กำหนดก็ได้  หรือเซตที่กำหนดไม่มีอยู่เลยก็ได้  ก็เกิดข้อเสียหายที่เป็นข้อขัดแย้งในวิชาทฤษฎีเซตได้

                การเกิดพาราดอกซ์รัสเซลล์

                             ในสมัยแรก  ๆ  ที่มีการนำเรื่องเซตมาแนะนำและประยุกต์ใช้  มีข้อสันนิษฐานว่า  อาจจะเกี่ยวข้องกับการนับจำนวนหรือการทำรอยคะแนน(Tally)  การนับจำนวนมักเป็นการนับเหตุการณ์ที่เกิดซ้ำ  ๆ  กันและอาจจะทำโดยใช้ก้อนกรวดเม็ด  ๆ  เก็บกองไว้  เมื่อจะใช้นับจำนวนก็หยิบก้อนกรวดครั้งละหนึ่งเม็ดต่อเหตุการณ์ที่เกิด  1  เหตุการณ์  หรือสำหรับกลาสีเรือ  วิธีนับวันที่

ผ่านไปแต่ละวัน  เมื่อแล่นเรือออกทะเล  ก็ทำโดยการขมวดปมไว้บนเชือก  ปมหนึ่งแทน  1  วันที่ผ่านไปจำนวนวันที่ผ่านไปทั้งหมดก็จำนวนปมเชือกที่ขมวดไว้นั่นเองวิธีการเช่นนี้ก็คือกระบวนการของการจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง   (One – to – one  Correspondence)  ซึ่งเป็นการจับคู่ระหว่าง  ปมเชือกกับวันที่แล่นเรือผ่านไปแล้ว  และเป็นลักษณะการจับคู่ระหว่างเซตของปมเชือกที่ขมวดไว้กับเซตของวันที่ผ่านไป

                                ความยากลำบากในเชิงเหตุผลที่เกี่ยวข้องกับเซต  เกิดมีขึ้นจากวิธีการนับ  หรือ  วิธีทำรอยคะแนน  นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน  คือคันเตอร์  ได้ประยุกต์วิธีการนับที่กล่าวนี้กับเซตอนันต์(Infinite  Set)  เซตของจำนวนธรรมชาติ  และผลที่ได้ทำให้เกิดความขัดแย้งที่เรียกว่า  พาราดอกซ์การประยุกต์ของคันเตอร์ดังเช่น  เขาสามารถพิสูจน์ว่า  เซตของจำนวนธรรมชาติสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง  กับเซตของจำนวนเต็มคู่ได้  และยังพิสูจน์ได้ว่า  เซตของจำนวนธรรมชาติไม่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งกับเซตจำนวนจริงได้  คันเตอร์จัดเซตของจำนวนธรรมชาติ  และเซตของจำนวนเต็มคู่  ให้มีลักษณะที่เขาเรียกว่า  เชิงตัวเลข(Numerous)  คือขนาดของจำนวนสมาชิกในเซตของจำนวนธรรมชาตินั้นแตกต่างจากขนาดของเซตจำนวนจริง  เขาจึงสรุปได้ว่า  สำหรับเซตอนันต์มีลักษณะของเซตอยู่อย่างน้อย  2  แบบที่แตกต่างกัน  เรียกขนาดของเซตที่แตกต่างกันแบบที่กล่าวนี้ว่า  จำนวนทรานซ์ไฟไนท์(Transfinite  Number)  ซึ่งจำนวนดังกล่าวนี้ใช้แทนขนาดของเซตอนันต์

                                การพบและการพิสูจน์ทฤษฎีบท  ที่กล่าวนี้คันเตอร์จัดว่าเป็นการพบที่ยิ่งใหญ่ในวิชาทฤษฎีเซตในเรื่องเซตอนันต์

                                คันเตอร์ใช้อักษรฮิบบูร(Hebrew)  ที่อ่านว่า  อัลเลฟ  (Aleph)  กับมีตัวห้อยเป็นศูนย์  คือ  À0  เพื่อแทนขนาดของเซตของจำนวนธรรมชาติ  และใช้อักษร  c  แทนขนาดของเซตของจำนวนจริง

                                ดังนั้น  จำนวนทรานซ์ไฟไนท์  c จึงมีค่ามากกว่า   À0

                                คันเตอร์ยังมีความสงสัยต่อมาไปอีกว่า  มีจำนวนระหว่างจำนวนทรานซ์ไฟไนท์  À0  และ  c  หรือไม่  เขาคาดคะเนว่าไม่มีจำนวนทรานซ์ไฟไนท์ใดระหว่างนี้เลย  และข้อสันนิษฐานของแคนเตอร์นี้เป็นที่รู้จักกันและเรียกว่า  Continuum  Hypothesis  ในเวลาต่อมาตัวคันเตอร์เองหรือนักคณิตศาสตร์  อื่น  ๆ  ไม่สามารถพิสูจน์ข้อคาดคะเนนี้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ

                                ในปี 1900 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ ฮิบแบร์ต (David  Hilbert  1862 - 1943)  ได้เขียนรายการของปัญหาทางคณิตศาสตร์ออกมารวม  50  ปัญหา  และมีข้อคาดคะเนของคันเตอร์อยู่ด้วยเป็นข้อแรก

                                ในปี  1938  นักคณิตศาสตร์ชาวเชโกสโลวะเกีย  ชื่อ  เกอเดล  (Godel)  ได้แสดงให้เห็นว่า  เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้มโนมติของวิชาทฤษฎีเซต  มาพิสูจน์ข้อคาดคะเนของแคนเตอร์ว่าไม่เป็นจริง  และเขายังแสดงอีกว่า  ถ้าทฤษฎีเซตรวมเอาข้อคาดคะเนนี้ไว้ได้  ก็จะได้ว่าทฤษฎีเซตมีความไม่คงเส้นคงวา(Inconsistency)

                                ในปี   1986  โคเฮน  (Paul  Cohen)  ได้แสดงให้เห็นว่า  มโนมติต่าง  ๆ  ในวิชาทฤษฎีเซต  ไม่สามารถพิสูจน์ข้อคาดคะเนได้

                                ในเรื่องของขนาดของเซตมีผลให้เกิดพาราดอกซ์  ดังนั้นในการพัฒนาวิชาทฤษฎีเซตในเชิงสัจพจน์  พบว่าอาจจะเกิดพาราดอกซ์ได้  จึงควรมีเงื่อนไขต่อขนาดของเซตด้วย  ในการนี้จึงควรมีการจำกัดขอบเขตของเซตในแง่ของจำนวนสมาชิก  หรือในแง่ลักษณะของสมาชิกที่เรากำหนดขึ้นด้วย  เช่น  จำกัดว่าเซตประกอบด้วยสมาชิกใดบ้างที่เราสนใจอยู่และเกี่ยวข้องปัญหาที่เรากำลังทำ  เรียกเซตดังกล่าวนี้ว่า  เอกภพสัมพัทธ์(Universal Set or  Universe)  และเซตที่เราเกี่ยวข้องก็สร้างขึ้นจากกานำสมาชิกมาจากเอกภพสัมพัทธ์นี้

                                ความคิดสงสัยในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเซตที่ว่า  เซตของเสือทุก  ๆ  ตัว  เป็นเสือหรือไม่  เซตของคนทุก  ๆ  คนเป็นคนหรือไม่  คำตอบที่นักคณิตศาสตร์จะตอบได้ทันที  และมองเห็นได้ชัดคือ  เซตของเสือทุก  ๆ  ตัว  ย่อมไม่เป็นเสือ  และ  เซตของคนทุก  ๆ  คน  ย่อมไม่เป็นคน

                                ความสงสัยในเรื่องคล้าย  ๆ  อย่างนี้จึงขยายมาในเรื่องของเซตโดยเกิดมีคำถามที่ว่า  เซตของทุก  ๆ  เซตมีอยู่ (Exist)  หรือไม่  และเซตที่มีสมาชิกเป็นเซตทุก  ๆ  เซต  มีอยู่หรือไม่  และดังได้กล่าวมาแล้วว่า  มีความเป็นไปได้เกิดขึ้นในเรื่องของเซต  2  อย่าง  คือ  A Î A  และ  หรือ  NÏN  ได้มีปัญหาว่า  เซตเป็นสมาชิกของตัวมันเองได้หรือไม่

                                เราจะหาคำตอบของปัญหานี้โดยการพิจารณาและวิเคราะห์ดู  โดยสมมติว่า  เซตบางเซตเป็นสมาชิกของตัวของมันเองได้  และสมมติว่า  เซตบางเซตเป็นสมาชิกของตัวของมันเองไม่ได้  เราจะเรียกเซตชนิดที่  ตัวมันเองเป็นสมาชิกของตัวมันเองไม่ได้  หรือ SÏS ว่าเซตธรรมดา(Ordinary  Set)  เรียกเซตชนิดที่ตัวมันเองเป็นสมาชิกของตัวมันเองได้  หรือ SÏS  ว่าเซตพิเศษ(Extraordinary  Set)  ดังนั้นเราจึงมีเซตอยู่  2  ชนิดเท่านั้น  คือ  เซตธรรมดา  และเซตพิเศษ

                                พาราดอกซ์รัสเซลล์เกี่ยวข้องกับเซต  F  ซึ่งกำหนดว่า  F  เป็นเซตที่มีสมาชิกเป็นเซตธรรมดานั่นคือ  F = { S  /  SÏS }

                                คำถามที่เกิดขึ้นก็คือ  F  เป็นเซตธรรมดาหรือเป็นเซตพิเศษ  คำตอบที่จะได้ก็คือเป็นเซตชนิดใดชนิดหนึ่งเท่านั้น  การคิดตอบปัญหานี้ทำโดยการวิเคราะห์เซต  F  โดยการพิจารณาได้เป็น  2  กรณี

                                กรณีแรก  สมมติว่า  F  เป็นเซตธรรมดา  ดังนั้น FÏF  ซึ่งก็คือเงื่อนไขของการเป็นเซตที่เป็นสมาชิกใน  F  ดังนั้น  FÎF  เกิดการขัดแย้ง

                                กรณีที่สอง  สมมติว่า  F  เป็นเซตพิเศษ  ดังนั้น FÎF  ซึ่งเงื่อนไขของการเป็นเซตซึ่งได้ว่า  F  สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ตัวมันเองเป็นสมาชิกของตัวมันเองได้  ดังนั้น  FÏF  เกิดข้อขัดแย้ง

                                ทั้งสองกรณีก็เป็นไปไม่ได้  และไม่มีกรณีอื่น  ๆ  อีกแล้ว  นอกจากสองกรณีนี้  ก็ได้คำตอบว่า  F  ไม่เป็นเซตธรรมดา  หรือเซตพิเศษ

                                จึงมีคำตอบต่อไปอีกว่า  F  เป็นเซตหรือไม่

                                ในการพัฒนาวิชาทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์  เซต  ๆ  หนึ่งต้องสอดคล้องเงื่อนไขที่กำหนด  ปรากฏว่าในกรณีที่พิจารณามาแล้วทั้งสองกรณี  เซต  F  จึงไม่เป็นเซตจึงเป็นเหตุผลที่สนับสนุนว่า  เซต  F  ไม่เป็นเซต  โดยเฉพาะการใช้คุณสมบัติ  “อยู่ใน Δ  ซึ่งเงื่อนไข  ของการเป็นสมาชิก  ไม่มีความหมายใดเกี่ยวข้องกับเซต  F

                                ฉะนั้นการกำหนดเซต  โดยให้  A  = {x / xÎx}  ทำให้เกิดความขัดแย้ง  ที่เรียกว่า  พาราดอกซ์รัสเซลล์  ด้วยเหตุนี้นักคณิตศาสตร์จึงให้ความระมัดระวังในการกำหนดเงื่อนไข  p(x)  ให้แก่สมาชิก  x  ในเซต  เพื่อป้องกันการเกิดพาราดอกซ์

                                จากที่กล่าวมาแล้วถึงพาราดอกซ์รัสเซลล์  จะเห็นว่ามีการขัดแย้งของข้อความอาจที่เกิดขึ้นได้จากการกำหนดเซตในแบบเงื่อนไขของสมาชิกในเซต  ทั้งนี้เพราะว่าอาจจะไม่มีเซตตามระบุคุณสมบัติ  ที่กำหนดไว้ในประพจน์  p(x)  ก็ได้

                                ฉะนั้นการเขียนข้อความ  p(x)  ซึ่งจะเป็นเงื่อนไขบอกคุณสมบัติของสมาชิก  x  จะต้องกำหนดให้รัดกุม  คือกำหนดแล้วต้องมีเซต  หรือสามารถหาเซตตามที่กำหนดไว้ในเงื่อนไข  และไม่เกิดพาราดอกซ์ขึ้นด้วย

                                โดยปกติทั่วไป  ๆ  ไปแล้วในวิชาคณิตศาสตร์ได้พบข้อขัดแย้งชนิดนี้แล้วก็ต้องถูกบังคับให้ยอมรับว่า  เกิดมีสัจพจน์อันหนึ่งอันใดผิดพลาดไป  ในกรณีนี้จึงนำไปสรุปได้  2  อย่าง  อย่างแรกคือไม่มีความหมายที่กล่าวถึงเซตที่เป็นสมาชิกของตัวมันเอง  หรืออย่างที่สองก็  คือ  เซตที่กำหนดนั้นไม่มีอยู่เลย

                                  ดังนั้นการกำหนดเซตแบบเงื่อนไข  เช่น

                                A = { x / x Î x}  หรือ

                                B ={x / x  เป็นเซตทุก  ๆ  เซต}

จึงไม่สมควรกำหนดเซตดังกล่าว  เพราะเกิดข้อขัดแย้ง

                                สำหรับพาราดอกซ์เชิงภาษา  เป็นพาราดอกซ์ของเบอร์รี(Berry ‘ s  Paradox)  เกิดขึ้นดังนี้

                                เบอร์รียอมรับว่า  คำภาษาอังกฤษทุก  ๆ  คำ  ได้บันทึกและให้ความหมายไว้แล้วในพจนานุกรมมาตรฐานในภาษาอังกฤษ  การใช้ข้อกำหนดแบบเงื่อนไขนั้น    เบอร์รีกำหนดเซต  T  ดังนี้ Let  T be  the  SET  OF  ALL  THE  NATURAL  NUMBERS  THAT  CAN  BE  DESCRIBED  IN  FEWER  THAN  TWENTY  WORDS  OF  THE  ENGLISH    LANGAUGE

                                สังเกตได้ว่า  จำนวนคำภาษาอังกฤษที่ใช้กำหนดเซต  T  นับได้  19  คำ  และความหมายของประโยคที่เขียนแทนเซต  T  คือ  ให้  T  เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติที่สามารถอธิบายโดยใช้ภาษาอังกฤษอย่างน้อย  20  คำ

                                เนื่องจากมีจำนวนคำในภาษาอังกฤษเป็นจำนวนจำกัด  ดังนั้นจึงมีการจัดหมวดหมู่ของคำที่เขียนเป็นตัวพิมพ์ไว้นั้นอยู่จำนวนมากมายหลายหมู่  แต่ก็มีจำนวนจำกัด  ฉะนั้น  T  จึงเป็นเซตที่มีสมาชิกจำกัด

                                แต่จำนวนธรรมชาติที่มีสมาชิกมากกว่าสมาชิทุก  ๆ  ตัวใน  T  ก็มีอยู่

                                ขณะเดียวกันอธิบายจำนวนธรรมชาติว่า  There  is  a  LEAST  NATURAL  NUMBER  WHICH  CANNOT  BE  DESCRIBED  IN  FEWER  THAN  TWENTY   WORDS  OF  THE  ENGLISH  LANGAUAGE.

                                จะเห็นว่าประโยคนี้ก็มีคำภาษาอังกฤษอยู่  16  คำ  โดยคำจำกัดความของสมาชิกในเซต  T  พบว่า  จำนวนที่อธิบายนี้อยู่ในเซต  T  แต่โดยความหมายของภาษาในประโยคบอกว่า  จำนวนนี้ไม่สามารถอธิบายโดยใช้ภาษาอังกฤษน้อยกว่า   20  คำได้  จึงแสดงว่า  จำนวนนี้ไม่อยู่ในเซต  T  เกิดความขัดแย้ง

                                จากที่กล่าวมานี้เราเผชิญกับข้อขัดแย้ง  ถ้าเรายอมรับว่ามีเซต T ดังกล่าวนี้ก็จะเกิดความขัดแย้งขึ้นในแง่ภาษา  ดังนั้น  เราจึงไม่ยอมรับเซต  T ดังกล่าวนี้

                                การพบพาราดอกซ์ต่าง  ๆ  และปัญหาการมีอยู่ของเซต(Existing of Sets)    ไม่ได้อยู่ในความคิดของนักคณิตศาสตร์เลย   และไม่เคยได้มีการนำเสนอในเรื่องเช่นนี้มาก่อน

                                ดังนั้นความเคลื่อนไหวของการเกิดพาราดอกซ์ในต้นศตวรรษที่  19  จึงทำให้เกิดจุดมุ่งหมาย  ในการที่จะทบทวนรากฐานของวิชาทฤษฎีเซต  และวิชาคณิตศาสตร์แขนงอื่น  ๆ  หัวข้อที่เกี่ยวข้องอย่างยิ่งก็คือ  การมีอยู่ของเซตแบบต่าง  ๆ  ที่ได้จากการกำหนดเซตด้วยคุณสมบัติบางประการนักคณิตศาสตร์รุ่นต่อ  ๆ  มาจึงได้ระวังในเรื่องนี้มาก  เซตที่สร้างขึ้นต้องกำหนดคุณสมบัติอย่างไรและภายใต้เงื่อนไขใดที่ทำให้การกำหนดคุณสมบัติของสมาชิกในเซต  จะเกิดการไม่สามารถสร้างเซตขึ้นมาได้  และการสร้างเซตใหม่  ๆ  จะทำได้จากเซตที่มีอยู่แล้วได้อย่างไร

                                ในเรื่องของพาราดอกซ์เชิงภาษา    คันเตอร์ก็มีความระวังอยู่แล้วในสมัยของเขาเช่น  การอธิบายความหมายของเซตที่เคยได้กล่าวไว้แล้ว  คันเตอร์และบรรดาศิษย์ของเขาก็ใช้วิธียอมรับด้วยสามัญสำนึกในความหมายของเซต

                                พาราดอกซ์มีคุณความดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ทำให้  นักคณิตศาสตร์พึงระวังการยอมรับการกำหนดเงื่อนไขคุณสมบัติของสมาชิกในเซตแต่ละเซตที่ตนสร้างขึ้นว่าจะไม่นำไปสู่การเกิดพาราดอกซ์

 นักคณิตศาสตร์เป็นจำนวนมาก คิดขจัด ข้อความแย้งกันแต่จริง ของ รัสเซลล์ โดยจัดทฤษฎีเซตให้เป็นไปตามระบบสัจพจน์ และยึดหลักที่ว่าสัจพจน์ที่กำหนดขึ้นจะต้องทำให้ทฤษฎีเซตของคันเตอร์ยังคงพิสูจน์ได้ในขณะที่ข้อความแย้งกันแต่จริงจะต้องไม่เกิดขึ้น

ในปี ค.ศ. 1908 แอร์นสต์  แซร์เมโล (Ernst Zermelo ชาวเยอรมนี  ค.ศ. 1871-1953)ให้ความเห็นว่า ถ้า P(x) เป็นเงื่อนไขอันหนึ่งของ x เราไม่สามารถกำหนดเซตของ x ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ P(x) แต่ถ้า A เป็นเซตหนึ่ง เราสามารถกำหนดเซตของ x ทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ A

และสอดคล้อง P(x)
                สิ่งที่แซม์เมโล กำหนดขึ้นนั้นเป็นการเลือกสมาชิกของเซตที่มีอยู่ก่อนแล้ว ตามคุณสมบัติอันหนึ่ง ซึ่งเขาเรียกว่า Selection Axiom (เรียกเป็นภาษาเยอรมันว่า Aussonderung Axiom) และกำหนดไว้เป็นกิจจะลักษณะดังนี้

                “ Let A be set, and let P(x) be a st atement about x which is meaningful for every object x in A. There exists a set which consists of exactly those elements x in A which satisfy P(x)”

                 แซร์เมโล  ได้ขจัดข้อความแย้งกันแต่จริงของรัสเซลล์ ดังนี้

                จากคุณสมบัติ xÏ x และตาม The axiom of  selection ของแซล์เมโล จะได้ว่า

$S("x [x ÎS  xÎA Ù x Ï x ] จะได้ SÎS  Û SÎAÙSÏS …………………[1]

จากตรรกศาสตร์ SÎA Ù( S ÎSÚS Ï SÛ (SÎ A ÙS ÎS )Ú (SÎ A ÙSÏS)…………[2]

ถ้า SÎA Ù S ÎS จะได้ SÏS ตาม [1] จึงทำให้เกิด SÎS Ù SÏS ซึ่งเป็นเท็จ …….…………. [3]

ถ้า S ÎA Ù S ÏS จะได้ S ÎS ตาม [1] จึงทำให้เกิด SÏ S Ù S Î S ซึ่งเป็นเท็จ .…………... [4]

จาก [3] และ [4] ทำให้ (SÎA Ù S Î S ) Ú(S Î A ÙSÏ S) เป็นเท็จ

และตาม [2] ทำให้ S Î A Ù (S ÎSÚ SÏ S) เป็นเท็จ

แต่  S ÎS Ú SÏS เป็นจริงเสมอ ดังนั้น S ÎA

และตาม [1] จะได้ SÎ S เป็นเท็จ นั่นคือ SÏS เป็นจริง จึงไม่เกิดข้อขัดแย้งกันแต่จริงดังกล่าวอีกต่อไป

               อย่างไรก็ตาม Selection Axiom ของ แซร์เมโล ก็ยังไม่รัดกุม เนื่องจากไม่สามารถบ่งบอกกลุ่มคำที่ว่า “statement about x which is meaningful” นั้นเป็นอย่างไร เนื่องจากระบบสัจพจน์ไม่ยอมรับความหมายตามสามัญสำนึก หรือญาณหยั่งรู้แต่อย่างใด และแซร์เมโล ก็ไม่สามารถให้คำตอบที่พอใจได้ แต่ต่อมาทอราล์ฟ  สโกเลม   (Thoralf Skolem) และคนอื่นๆ ได้เขียนให้ชัดเจนดีขึ้น จนกระทั่งปัจจุบันกำหนดให้ P(x) เป็นประโยคเชิงประพจน์ หรือ ประโยคเปิดตามรูปแบบในตรรกศาสตร์

            นอกจากวิธีขจัดข้อขัดแย้งดังกล่าวแล้ว จอหน์ ฟอน นอยมันน์ ( John von Neumann   ชาวเยอรมนี ค.ศ. 1903-1957 )ได้คิดวิธีขจัดข้อความขัดแย้งกันแต่จริงของ รัสเซลล์อีกวิธีหนึ่ง และ เป็นวิธีขจัดข้อขัดแย้งได้อย่างสมเหตุสมผลเช่นเดียวกัน ฟอน นอยมันน์ เห็นว่ามีสาระประกอบกันอยู่ 2 อย่าง ที่ทำให้เกิดข้อความขัดแย้งดังกล่าวนั้น อย่างแรกคือเซตดังกล่าว( เซต S ในข้อขัดแย้งกันแต่จริงของรัสเซลล์) ใหญ่มาก อย่างที่สองคือ เซตใหญ่ๆดังกล่าวเป็นสมาชิกของเซต

              จากสาระ 2 อย่างนี้ จะเห็นได้ว่า แซร์เมโลได้แก้ไขอย่างแรกเพื่อหลีกเลี่ยงการขัดแย้งกัน แต่จริงของรัสเซลล์โดยไม่ให้มีเซตใหญ่ๆ เช่นนั้นเกิดขึ้น

                ส่วน ฟอน นอยมันน์ ได้เสนอแนะแก้ไขสาระ อันที่ 2 โดยยอมให้เซตใหญ่ๆดังกล่าวเกิดขึ้นได้ แต่ไม่ยอมให้เซตเหล่านี้เป็นสมาชิกของเซตใดอีก นั่นคือมีเซต 2 ประเภท ประเภทหนึ่งเป็นสมาชิกของเซต อีกประเภทหนึ่งเป็นเซตของสมาชิกใดไม่ได้ เรียกเซตประเภทหลังว่า ( Class)  เขาจึงกำหนดให้เป็น  Class axiom

                ฟอน นอยมันน์ ได้ขจัดข้อความแย้งกันแต่จริงของรัสเซลล์ ดังนี้

 จากคุณสมบัติ x Ïx  Class axiom ของ ฟอน นอยมันน์ เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้

$s("x [x$s Û x  is an element  xÏx )  เมื่อพิจารณา จะเห็นได้ว่า s Î s จะได้ s Î s s Ï s

 ถ้า S is an element ทำให้ sÎs และได้s Ï s เกิดการขัดแย้งกันเช่นเดิม

ดังนั้น S เป็นเซตที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตใด เรียกว่า S เป็น class ของสมาชิกทั้งหมด 

อนึ่ง มีหนังสือบางเล่มใช้ คลาส แทน เซต และใช้คลาสแท้  (proper class) แทนคลาสที่ไม่เป็นสมาชิกของ คลาส ใดเลย

หลังจากที่ แซร์เมโล และ ฟอน นอยมันน์  ได้ขจัดข้อความแย้งกันแต่จริงของรัสเซลล์ได้แล้ว ทฤษฏีเซต ยังคงมีต่อไปตามระบบของแซร์เมโล หรือ ฟอน นอยมันน์ จึงทำให้นักคณิตศาสตร์สบายใจที่จะนำทฤษฏีเซตไปอธิบายเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ เนื่องจากทฤษฏีเซตอธิบายได้อย่างรัดกุมและชัดเจนดีกว่า

               จากเหตุและผลต่างๆดังกล่าวแล้วนั้น จึงเกิดทฤษฎีเซตระบบสัจพจน์ที่ 2 แนวทางหลักๆได้แก่

                แนวทางที่ 1 เป็นแนวทางของแซร์เมโล เริ่มต้นในปี ค.ศ. 1908 แต่ยังไม่สมบูรณ์เพียงพอ อะบราฮัม แฟรงเกล (Abraham Fraenkel)  จึงได้เพิ่ม  Replacement   Axiom  ในปี ค.ศ. 1922 และต่อมาในปี ค.ศ. 1923 สโกเลม ได้เพิ่มเติม Regularity axiom จึงสมควรจะเรียกว่าทฤษฏีเซตของ แซร์เมโล – แฟรงเกล – สโกเลม (Zermelo–Fraenkel- Skolem )แต่เรานิยมเรียกสั้นๆว่า ทฤษฏีเซตของ แซร์เมโล – แฟรงเกล (Zermelo–Fraenkel) โดยใช้ลัญญาลักษณ์ ZF และใช้ ZFC เมื่อต้องการย้ำว่าสัจพจน์มีการเลือก(Choice Axiom) ของแซร์เมโลร่วมด้วย

                แนวทางที่ 2 เป็นแนวทางของ ฟอน นอยมันน์ เขาเขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1925 และ พอล เบอร์เนย์ (Paul Bernays) ได้พัฒนาให้สอดคล้องกับระบบสัจพจน์ในผลงานปี ค.ศ. 1937 และในผลงานของ กูร์ต เกอเดล (Kurt Godel) ปี  ค.ศ. 1940 ได้ดัดแปลงแก้ใขให้เข้าใจง่ายขึ้น จึงเรียกว่าทฤษฏีเซตของ ฟอน นอยมันน์ – เบอร์เนย์ –  เกอเดล (von Neumann-Bernays-Godel)